梅乐芝经理的科普文章 （十三）(2/5)

观察人体的肺泡，前面曾介绍，为了充分进行气体交换，人体的肺泡数量多而体积小，在总体积不变的情况下，肺泡面积大幅度增加。如图为肺泡示意图。可以看到，和树木的情况类似，气管是树干，支气管是树枝，支气管下分的小管道是小枝，肺泡是树叶。如果这个过程持续分散下去，最终肺泡面积会达到无限，但实际的生物世界总是存在限制，但从思考的角度可以认为肺泡也是一类型的标度对称。其特征是体积有限，但面积无限！因此人体肺组织的维数就是介于二维和三维之间。标度对称中的增加系数，就是肺泡每级分割空间所增加的面积比例。

现在我们命名这些维数居然不是整数的对象，称为分形对象。可发现，这些对象仅仅是满足标度对称的特定分类。标度对称的增加系数则依赖构造过程中的表征增加比例，比如长度增加比例。

思考：

1.在现有世界中，我们可以观察的静态对象最大维数为3。当维数不限定为整数后，可观察大量维数0～3之间的对象。那么是否存在维数大于3的对象？膨胀的宇宙算否？

2.koch线段的标度对称增加系数为4/3，维数介于1和2之间，能否使用4/3来描述其维数？回忆我们对维数的定义，这样的增加系数是否满足重的要求？对于肺泡这样的对象，如何使用增加系数来定义维数？以汽车的尾气净化装置中的铂颗粒的分形过程为例，尝试给出维数数值。

3.如右图构造，对线段取三等分，去掉中间的一段。重复构造下去，则线段的长度为0！此时线段的维数小于1。线段最后变成无数个离散的点，线段已经无法维持，成为点集。以德国人canto的名字命名。

4.如右图构造，在立方体的某个面上，九等分为九个正方形，挖掉中心正方形对应的立方体，对其他五个面也同样进行挖掉中心立方体。也就是对立方体二十七等分，挖掉各面六个，最后将立方体中心的小立方体（颜色涂黑的部分）也挖掉。以上操作完成一次构造。反复进行同样构造，最后立方体的体积为0，面积无限，变成一块海绵，以波兰人siepiki的名字命名。尝试给出维数。观察面筋、冻豆腐、雪魔芋。

5.皮蛋，又称松花蛋，在蛋白表面存在若干花纹，类似松花。形成的原因称为粘性指进（vi），因流体粘度不同，粘度小的流体渗透进粘度大的流体时产生的随机分叉状况。（皮蛋的蛋白液变性，失去生物活性，成为凝固状蛋白，通常称这种现象为中毒。早期皮蛋的外包药剂中含有铅的氧化物，俗称密陀僧。现代皮蛋工艺中去掉了铅，采用锌或铜的氧化物。）

分形的构造过程中，重复进行构造，每次构造的规模不同，依次递减，我们将这种递减规模的重复构造行为称为递归。标度对称和递归是对同一种现象的不同视角描述：标度对称侧重整体特征，是静态描述；递归侧重实现过程，是动态过程。事实上，规模的递减是表面现象，递归的本质是：每次递归都在上次递归的结果上进行。

现代军队的组织是标度对称。以三三制为例：一军三师，一师三团…；变成一颗树的情景。树根是军，树干是师…树叶是士兵。军队的指挥是递归过程，军长给师长下令，师长给团长下令…班长指挥士兵。每个指挥者仅仅指挥若干个下属即可。

分形都存在对应的递归实现。以siepiki垫片为例。a：如图所示，面积逐渐减少，最后为0。b：让人震惊的另类递归构造。1.在三角形内任意取一点，如右图中的十字星位置，2.随机选三角形一个顶点和十字星点连接，取连线中点，用五角星表示。3.使用步骤2生成的五角星点为顶点，重复步骤2。最后也生成了siepiki垫片。注意：在表面上看此递归过程和上图中的递归不同，但实质都是依赖上次构造过程的结果来进行。由居里对称定理来分析，初始值是随机，过程对称，群体结果居然是对称！似乎不满足定理。但初始值随机，则全部随机的初始值可以布满整个三角形内部