三十四、小组长(2/3)

感谢天，感谢地，感谢命运让我们相遇！

不对、不对，“即使我们工作取得了极其伟大的成绩，也没有任何值得骄傲自大的理由。虚心使人进步，骄傲使人落后，我们应当永远记住这个真理”。江水源把图书管理员的箴言默念三遍，摆正心态，继续往下做题。

不到十点，江水源已经如同砍瓜切菜一般，把前面十二道题目全部解决，顺利抵达及格线。他甩甩手腕，决定一鼓作气，在午饭前结束所有战斗，用学三食堂的火腿炒饭来欢庆高代的10学分顺利到手。然后他就遇到了第13题。

设a、b是n阶实对称阵且ab+ba=0。证明：若a是半正定矩阵，则存在正交矩阵p，使得pap=diag{&labda;r，0，...，0}，pbp=diag{0，...，0，&u;π）。

题目看上去有些难度，关键后面还缀了个尾巴：至少用2种以上方法证明。由此看来，出题者不是洗心革面，放下屠刀吃斋念佛了，而是思路发生了点小变化。前12题是基础题，保证只要基本功扎实就能顺利过关；后面8题则是提高题，难度迅速抬升一个数量级，似乎刻意是要对答题者的能力做出筛选分级。

既然如此，那就来吧！

江水源心中略作盘算。虽然反交换的矩阵不一定有公共的特征向量，但是a的半正定性使得只需要把问题限制在零特征值的特征子空间上讨论就行了，此时a、b的反交换性就变成了交换性。所以第一种方法就是利用不变子空间理论，将问题转化成几何的语言，就可以很容易证明结论。

刚刚写完，他又想到了另外一种方法，利用实对称阵的正交相似标准形理论，假设a是正交相似标准形来做。嗯，so_easy!

进度13/20!

江水源刚要翻到下一题，突然想到一种更巧妙的方法，即利用a^2、b可以同时正交对角化，再用到半正定矩阵算术平方根的唯一性来证明，这种方法不仅更自然，也更简单。

景鹏像是闲得无聊，整个上午都呆在自习室里，优哉游哉地翻看着江水源放在书架上的各种书籍。等到江水源做完第13题，马上伸手拿过答题纸认真看了起来。江水源吐槽道：“景老师，不是说好开卷么？怎么感觉像是以开卷之名，行闭卷之实呀？”

“我就是随便看看，碍着你翻书找资料了吗？”景鹏好整以暇地调整了个坐姿。

“倒不碍着我翻书找资料，可是影响我考试心情啊！”

“都考试了，还能有什么心情？赶紧做题吧！”景鹏安静了不到十秒钟，忍不住惊讶出声：“欸，这个解法好精巧，我都没想到过！”

江水源一听就知道他说的是哪里：“很巧妙吧？我也是突然来了灵感才想到的。”

景鹏赞许地点点头：“不错、不错。不过能想到这个方法，只能算是有点聪明；能把整张试卷按时做完，那才是真正把高等代数学好了。”

什么意思？看来后面的题目简单不了啊！

事实证明，景鹏不是虚言恫吓。江水源越往后做越觉得吃力，第15题刚开了个头，突然有只手伸到自己面前：“饭卡！”

“嗯？”江水源顺着手看过去，原来是那位相貌普通的低阶科研狗，景鹏不知道什么时候已经走了。

“午饭吃什么？”

“哦，已经是中午了？麻烦来一份石锅拌饭，一盒牛奶，谢谢。”

“好。”低阶科研狗突然脸上带着蜜汁微笑，神秘兮兮地问道，“在你们那个班，是不是班委什么的也是按颜值来排的？比如说，长得最帅、最漂亮的当班长，排第二的当学委啥的？”

“是啊，你怎么知道？当时我还是小组长呢！”

吃完某位八卦人士热心送来的午饭，江水源把战线继续缓慢往前推进。如果说上次数分考试非常考验人的耐心和脑筋急转弯的能力，那么这次高代考试显然更注重人的思维能力和对知识的创新运用。换个角度